Le théorème de Thalès ou théorème d'intersection est un théorème de géométrie qui affirme que, dans un plan, une droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle sectionne ce dernier en un triangle semblable. En anglais, il est connu sous le nom de Intercept theorem (soit théorème d'intersection); en allemand il est appelé Strahlensatz, c'est-à-dire théorème des rayons.
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Le théorème de Thalès dans le triangle
Si O, A, B sont alignes, si O', A', B' sont alignes et si (AA') est parallèle a (BB') alors :
Interprétation du théorème de Thalès
Ce théorème exprime la proportionnalité entre les deux mesures des cotes de deux triangles places l'un par rapport a l'autre dans une situation bien précise qu'on appelle parfois "situation de Thalès" et que résument les deux dessins ci-dessus.
Un exercices type : utilisation du théorème de Thalès
Exemple : ABC est un triangle avec AB = 10 cm, BC = 8 cm, AC = 7 cm.
M est le point du segment [AC] tel que (MN)//(BC).
Calculer les longueurs AN et MN.
Démonstration
A, B et M sont alignes.
A, C et N sont alignes.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès et écrire
La première égalité permet le calcul de AN
d’où 10 AN - 42
et AN = 42 / 10 = 4,2 cm
La deuxième égalité permet de calculer MN
d’où 10 MN = 48 et MN = 48 / 10 = 4,8 cm